Question

已知点，点为直线上的一个动点.

（Ⅰ）求证：恒为锐角；

（Ⅱ）若四边形为菱形，求的值.

Answer

（Ⅰ）证明见解析;（Ⅱ）2.

【解析】

试题（1）已知一个角的两边的向量,可以求出这个角的大小,由题,可以求出向量PA,PB,由向量内积公式可求得角的范围;（2）菱形的对边平行且四边相等,向量相等,横纵坐标相等,由题,向量AP=BP,可以求得x=1,由向量PQ=BA,可以求得Q点坐标,即可求出向量的内积.

试题解析：（1）∵点在直线上，

∴点,

∴，

∴,

∴,

若三点在一条直线上，则，

得到，方程无解，

∴,

∴恒为锐角.

（2）∵四边形为菱形，

∴，即

化简得到，

∴，

∴,

设，∵，

∴，

∴,

∴.