Question

设表示不超过的最大整数，若，.给出下列命题：

①对任意的实数，都有.

②对任意的实数，都有.

③.

④若函数，当时，令的值域为，记集合中元素个数为，则的最小值为，

其中所有真命题的序号为______.

Answer

①②④

【解析】

直接利用定义判断①②；利用新定义分类求出各式的值，作和后加以判断③；由题意先求，再求，然后再求，得到，进而得到，用基本不等式求解的最小值判断④，得到答案.

对于①，由表示不超过的最大整数，则对任意的实数，都有，命题①正确；

对于②，记（），（），

则，故②正确；

对于③，，，，.

，，

，，

，命题③错误；

对于④，根据题意：.

在各区间中的元素个数是：.

，则，

当时，最小值为，命题④正确.

故答案为：①②④.