Question

已知函数f（x）=x²+|x﹣a|．

（1）当a=1时，求函数f（x）的最小值；

（2）试讨论函数f（x）的奇偶性，并说明理由．

Answer

（1）；

（2）见解析．

【解析】

试题（1）将f（x）化简成分段函数，讨论f（x）的单调性，求出最小值；

（2）将f（x）化简成分段函数，对a进行讨论，得出结论．

【解析】
（1）a=1时，f（x）=，

∴f（x）在（﹣∞，）上是减函数，在[，1）上是增函数，在[1，+∞）上是增函数．

∴fmin（x）=f（）=．

（2）f（x）=，

①若a＞0，当x≥a时，﹣x≤﹣a＜0，

f（x）=x2+x﹣a，f（﹣x）=x2+x+a，∴f（﹣x）≠±f（x）．

∴f（x）为非奇非偶函数．

②若a＜0，当x＜a时，﹣x＞﹣a＞0，

f（x）=x2﹣x+a，f（﹣x）=x2﹣x﹣a，∴f（﹣x）≠±f（x）．

∴f（x）为非奇非偶函数．

③若a=0，当x≥0时，f（x）=x2+x，f（﹣x）=x2+x，∴f（x）=f（﹣x），

当x＜0时，f（x）=x2﹣x，f（﹣x）=x2﹣x，∴f（x）=f（﹣x）．

∴f（x）是偶函数．

综上，当a=0时，f（x）是偶函数，

当a≠0时，f（x）为非奇非偶函数．