Question

已知二次函数的定义域为恰是不等式的解集，其值域为，函数的定义域为，值域为.

（1）求函数定义域为和值域；

（2）是否存在负实数，使得成立？若存在，求负实数的取值范围；若不存在，请说明理由；

（3）若函数在定义域上单调递减，求实数的取值范围.

Answer

（1），（2）存在；（3）

【解析】

（1）解不等式求出，结合二次函数的图像和性质，求出；

（2）判断单调递增，求出，结合，可得负实数的取值范围；

（3）根据定义法得到，根据，解得答案.

（1）解不等式得，故二次函数的定义域，

二次函数的图象是开口朝上，且以直线为对称轴的抛物线，

故二次函数在时，取最小值，当时，取最大值，

故二次函数的值域；

（2）函数，，故在上为增函数，

此时，，则解得：；

（3）函数在定义域上单调递减，设，则

即，易知，故