Question

对定义在[0，1]上的函数f（x），如果同时满足以下三个条件：

①对任意x∈[0，1]，总有f（x）≥0；

②f（1）=1；

③若x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）成立．

则称函数f（x）为理想函数．

（1）判断g（x）=2^x﹣1（x∈[0，1]）是否为理想函数，并说明理由；

（2）若f（x）为理想函数，求f（x）的最小值和最大值；

（3）若f（x）为理想函数，假设存在x₀∈[0，1]满足f[f（x₀）]=x₀，求证：f（x₀）=x₀．

Answer

（1）是；（2）f（x）取得最小值2，f（x）取得最大值3；（3）见解析．

【解析】

（1）①显然f（x）=2x﹣1在[0，1]上满足f（x）≥0；②f（1）=1．

若x1≥0，x2≥0，且x1+x2≤1，

则有f（x1+x2）﹣[f（x1）+f（x2）]=2x1+x2﹣1﹣[（2x1﹣1）+（2x2﹣1）]=（2x2﹣1）（2x1﹣1）≥0

故f（x）=2x﹣1满足条件①②③，所以f（x）=2x﹣1为理想函数，

（2）设x1，x2∈[0，1]，x1＜x2，则x2﹣x1∈（0，1]

∴f（x2）=f[（x2﹣x1）+x1]≥f（x2﹣x1）+f（x1）﹣2

∴f（x2）﹣f（x1）≥f （x2﹣x1）﹣2≥0，

∴f（x1）≤f（x2），则当0≤x≤1时，f（0）≤f（x）≤f（1），

在③中，令x1=x2=0，得f（0）≤2，由②得f（0）≥2，

∴f（0）=2，当x=1时，f（1）=3，

∴当x=0时，f（x）取得最小值2，

当x=1时，f（x）取得最大值3，

（3）由条件③知，任给m、n∈[0，1]，当m＜n时，由m＜n知n﹣m∈[0，1]，

∴f（n）=f（n﹣m+m）≥f（n﹣m）+f（m）≥f（m）．

若f（x0）＞x0，则f（x0）≤f[f（x0）]=x0，前后矛盾；

若：f（x0）＜x0，则f（x0）≥f[f（x0）]=x0，前后矛盾．

故f（x0）=x0．