Question

已知复数满足：（），且在复平面上的对应点的轨迹经过点.

（1）求的轨迹；

（2）若过点，倾斜角为的直线交轨迹于、两点，求的面积.

Answer

（1）；（2）

【解析】

（1）根据复数模的几何意义判断出点的轨迹是双曲线的一支，结合点求得的轨迹方程.

（2）求得直线的方程，联立直线的方程和的方程，化简后写出韦达定理，利用弦长公式求得，利用点到直线的距离公式求得高，由此求得的面积.

（1）由于复数满足：（），所以在复平面上的对应点到、两点的距离之差为常数，且.所以的轨迹是双曲线的右支.且.设轨迹的方程为，将点代入上式得，解得或（舍去），所以的轨迹方程为.

（2）依题意，直线的方程为，由消去得.

设，则.

所以.

到直线的距离为.

所以.