Question

已知等轴双曲线：的右焦点为，为坐标原点，过作一条渐近线的垂线且垂足为，.

（1）求等轴双曲线的方程；

（2）若过点且方向向量为的直线交双曲线于、两点，求的值；

（3）假设过点的动直线与双曲线交于、两点，试问：在轴上是否存在定点，使得为常数，若存在，求出的坐标，若不存在，试说明理由.

Answer

（1）；（2）；（3）定点.

【解析】

（1）根据双曲线焦点到渐近线的距离为和等轴双曲线的性质，求得等轴双曲线的方程.

（2）由直线的方向向量求得直线的斜率，由此写出直线的方程.联立直线的方程和双曲线的方程，写出韦达定理，求得，，由此求得的值.

（3）设，设出直线的方程，与双曲线方程联立，写出韦达定理，代入进行化简，结合为常数列方程，解方程求得点的坐标.

（1）双曲线焦点到渐近线的距离为，所以，所以等轴双曲线的方程为.且.

（2）由于直线的方向行向量为，所以直线的斜率为，而，所以：，与联立方程并化简得，可得，，

即.

（3）设点.依题意可知直线与不平行，设直线，与联立方程有，

可得，，∴，，

，要为定值，

需满足，∴，即定点.