Question

已知函数的反函数是，设，，是图象上不同的三点；

（1）求；

（2）如果存在正实数，使得，，成等差数列，试用表示实数；

（3）在（2）的条件下，如果实数是唯一的，试求实数的取值范围．

Answer

（1）； （2），； （3）或．

【解析】

（1）根据反函数的求法即可得反函数；

（2）根据等差中项关系列出等式，即可表示；

（3）将问题转化为在上由唯一解，利用方程的根的问题解决.

（1）由，解得，把与互换可得：；

（2），，，

，，成等差数列，

，化为，

解得，．

（3）由，化为在上有唯一解．

当时，解得，这时方程有唯一解，满足条件．

当时，方程的一个根大于，另一个根小于（不可能出现一个根等于的情形），记，

只需即可，解得．

综上可得：或．