Question

如图，四棱锥P －ABCD的底面是矩形，侧面PAD是正三角形，

且侧面PAD⊥底面ABCD，E 为侧棱PD的中点．

（1）求证：PB//平面EAC；

（2）求证：AE⊥平面PCD；

（3）当为何值时，PB⊥AC ？

Answer

（1）见解析；（2）见解析

【解析】

1）连结BD交AC于O，连结EO,由EO//PB可证PB//平面EA．

（2）由侧面PAD⊥底面ABCD，，可证，又PAD是正三角形，所以AE⊥平面PCD．

（3）设N为AD中点，连接PN，则，可证PN⊥底面ABCD，所以要使PB⊥AC，只需NB⊥AC，由相似三角形可求得比值．

（1）连结BD交AC于O，连结EO,

因为O，E分别为BD.PD的中点, 所以EO//PB,

,所以PB//平面EAC．

（2）

正三角形PAD中，E为PD的中点，所以，，

又，所以，AE⊥平面PCD．

（3）设N为AD中点，连接PN，则．

又面PAD⊥底面ABCD，所以，PN⊥底面ABCD．

所以，NB为PB在面ABCD上的射影．

要使PB⊥AC，只需NB⊥AC，在矩形ABCD中，设AD＝1，AB＝x,

由,得∽，

解之得：,

所以，当 时，PB⊥AC．