Question

在直角坐标系中，圆：经过伸缩变换，后得到曲线以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为

求曲线的直角坐标方程及直线l的直角坐标方程；

在上求一点M，使点M到直线l的距离最小，并求出最小距离．

Answer

（1） ； （2）.

【解析】

（1）由后得到曲线C2，可得：，代入圆C1：x2+y2=1，化简可得曲线C2的直角坐标方程，将直线l的极坐标方程为cosθ+2sinθ=化为：ρcosθ+2ρsinθ=10，进而可得直线l的直角坐标方程.

（2）将直线x+2y﹣10=0平移与C2相切时，则第一象限内的切点M满足条件，联立方程求出M点的坐标，进而可得答案.

（1）因为后得到曲线，

，代入圆：得：，

故曲线的直角坐标方程为；

直线l的极坐标方程为．

即，即.

将直线平移与相切时，则第一象限内的切点M满足条件，

设过M的直线为，

则由得：，

由得：，

故，或，舍去，

则，即M点的坐标为，

则点M到直线l的距离