Question

抛物线顶点在原点，焦点在x轴上，且过点（4，4），焦点为F．

（1）求抛物线的焦点坐标和标准方程；

（2）P是抛物线上一动点，M是PF的中点，求M的轨迹方程．

Answer

（1）抛物线标准方程为：y2=4x，焦点坐标为F（1，0）；（2）M的轨迹方程为 y2=2x﹣1．

【解析】

试题（1）由已知设抛物线解析式为，易得；（2）设，，，是的中点，由中点坐标公式得，，代入法求的轨迹方程.

试题解析：（1）抛物线顶点在原点，焦点在x轴上，且过点（4，4），

设抛物线解析式为y2=2px，把（4，4）代入，得，16=2×4p，∴p=2

∴抛物线标准方程为：y2=4x，焦点坐标为F（1，0）

（2）设M（x，y），P（x0，y0），F（1，0），M是PF的中点，则x0+1=2x，0+y0="2y"

∴x0=2x﹣1，y0=2y

∵P是抛物线上一动点，∴y02=4x0

∴（2y）2=4（2x﹣1），化简得，y2=2x﹣1．

∴M的轨迹方程为 y2=2x﹣1．