Question

自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为了持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响.用表示某鱼群在第年年初的总量且.不考虑其他因素，设在第年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与成正比，死亡量与成正比，这些比例系数依次为正常数，，

（1）求与的关系式

（2）若每年年初鱼群的总量保持不变，求，，，所应满足的条件

（3）设，，为保证对任意，都有，则捕捞强度的最大允许值是多少？并说明理由.

Answer

（1），；（2），且；（3）捕捞强度的最大允许值是1.

【解析】

（1）利用题中的关系求出鱼群的繁殖量，被捕捞量和死亡量就可得到与的关系式；

（2）每年年初鱼群的总量保持不变就是恒等于，转化为恒成立，再利用（1）的结论，就可找到，，，所满足的条件；

（3）先利用（1）的结论找到关于和的不等式，再利用，求出的取值范围以及的最大允许值，最后再用数学归纳法进行证明即可

（1）从第年初到第年初，鱼群的繁殖量为，被捕捞量为，死亡量为，

因此，即，

（2）若每年年初鱼群总量保持不变，则恒等于，，

得到恒等于0，，所以.即.

因为，所以.

当，且.每年年初鱼群的总量保持不变.

（3）若的值使得，

由，，知，，

特别地，有.即.

而，所以.由此猜测的最大允许值是1.

当，时，都有，，

①当时，结论显然成立.

②假设当时结论成立，即，

则当时，.

又因为，

所以，故当时结论也成立.

故对于任意的，都有.

综上所述，为保证对任意，都有，，

则捕捞强度的最大允许值是1.