Question

已知二次函数f（x）满足f（x）=f（2-x），且f（1）=6，f（3）=2．

（1）求f（x）的解析式

（2）是否存在实数m，使得在[-1，3]上f（x）的图象恒在直线y=2mx+1的上方？若存在，求m的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer

（1）；（2）.

【解析】

（1）根据题意，分析可得f（x）的对称轴为x＝1，结合f（1）的值设f（x）＝a（x﹣1）2+6，又由f（3）＝2，即a（3﹣1）2+6＝2，解可得a的值，即可得函数的解析式；

（2）根据题意，假设存在存在实数m，分析可得f（x）＞2mx+1即x2+2（m﹣1）x﹣4＜0在[﹣1，3]上恒成立，设g（x）＝x2+2（m﹣1）x﹣4，结合二次函数的性质可得，解可得m的取值范围，即可得答案．

【解析】
（1）根据题意，二次函数f（x）满足f（x）=f（2-x），则函数f（x）的对称轴为x=1，

又由f（1）=6，则设f（x）=a（x-1）2+6，

又由f（3）=2，即a（3-1）2+6=2，解可得a=-1，

则f（x）=-（x-1）2+6=-x2+2x+5，

（2）根据题意，假设存在存在实数m，使得在[-1，3]上f（x）的图象恒在直线y=2mx+1的上方，

则有f（x）＞2mx+1即x2+2（m-1）x-4＜0在[-1，3]上恒成立，

设g（x）=x2+2（m-1）x-4，

必有，解可得-＜m＜，

即m的取值范围为（-，）．