Question

已知线段的端点的坐标为，端点在圆上运动.

（1）求线段的中点的轨迹方程；

（2）过点的直线与圆有两个交点，.当时，求的斜率

Answer

（1）（2）

【解析】

（1）设出的点的坐标，根据中点坐标公式建立两点坐标的关系式，将点坐标代入圆的方程，由此求得的轨迹方程.

（2）设出直线的斜率，利用圆的几何性质，结合判断出圆心到直线的距离为，由此列方程，解方程求得直线的斜率.

（1）设，，

由中点公式得，

因为在圆上，所以即.

点的轨迹是以为圆心，为半径的圆；

（2）设的斜率为，则的方程为，即

因为，为等腰直角三角形，

由题意知，圆心到的距离为.

由点到直线的距离公式得，

，解得.