Question

已知椭圆的离心率为，又点在该椭圆上.

（1）求椭圆的方程；

（2）若斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，，求的最大面积.

Answer

（1）（2）

【解析】

（1）根据椭圆离心率，椭圆上一点的坐标以及列方程组，解方程组求得的值，进而求得椭圆的方程.

（2）设出的坐标以及直线的方程，联立直线的方程和椭圆，化简后根据判别式求得的取值范围，并写出根与系数关系，利用弦长公式求得，求得到直线的距离，由此求得面积的表达式，利用平方的方法，结合基本不等式，求得的最大面积.

（1）依题意，得，解得，

椭圆的方程为.

（2）设，，

直线的方程为，

则有

整理，得

由，

解得.

由根与系数的关系，得：，

.

设为点到直线的距离，

则，

即，即

当且仅当时取等号，

所以时，的面积取得最大值为.