Question

已知函数

（1）当a=0时，求函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程；

（2）令求函数的极值.

（3）若，正实数满足，证明：.

Answer

（1）2x﹣y﹣1=0；（2）见解析；（3）见解析.

【解析】

(1)利用导函数在处的值求得斜率，然后点斜式求解切线方程即可；

(2)利用导函数与极值的关系结合题意分类讨论可得当a≤0时，函数g（x）无极值；

当a＞0时，函数g（x）有极大值﹣lna，无极小值；

(3)利用题意构造，结合题意进行证明即可.

（1）当a=0时，f（x）=lnx+x，则f（1）=1，所以切点为（1，1），

又f′（x）=+1，则切线斜率k=f′（1）=2，

故切线方程为：y﹣1=2（x﹣1），即2x﹣y﹣1=0；

（2）g（x）=f（x）﹣（ax﹣1）=lnx﹣ax2+（1﹣a）x+1，

所以g′（x）=﹣ax+（1﹣a）=，

当a≤0时，因为x＞0，所以g′（x）＞0．

所以g（x）在（0，+∞）上是递增函数，无极值；

当a＞0时，g′（x）=，

令g′（x）=0，得x=，

所以当x∈（0，）时，g′（x）＞0；当x∈（，+∞）时，g′（x）＜0，

因此函数g（x）在x∈（0，）是增函数，在（，+∞）是减函数，

当a＞0时，函数g（x）的递增区间是（0，），递减区间是（，+∞），

∴x=时，g（x）有极大值g（）=﹣lna，

综上，当a≤0时，函数g（x）无极值；

当a＞0时，函数g（x）有极大值﹣lna，无极小值；

(3)【解析】
由，令，则由得，

可知，在区间（0，1）上单调递减，在区间上单调递增，所以，，

所以解得

又因为，因此成立