Question

已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）若函数有三个极值点，，，求实数的取值范围，并证明.

Answer

（1）当时，在单调递减；当时，在单调递减，在单调递增.（2）证明见解析

【解析】

（1）求导，对分类讨论，确定或解的区间，即可求出结论；

（2）求，由，得出或，有三个极值点，转化为有两个异于2的实根.不妨设，，根据（1）得，且，从而，由零点存在定理可得，又时，，求出实数的取值范围是.要证，只需证明，利用，是的两个实根，可得，.令，则，，，只需证明，即证，，令，，利用求导，求出单调区间，最值,即可证明结论.

【解析】
（1），

当时，，在单调递减；

当时，令，得，

当时，；当时，.

故在单调递减，在单调递增.

（2）由已知得，，

令，得或.

要使函数有三个极值点，须有三个不相等实数根，

从而有两个异于2的实根.不妨设，，

由（1）知：，且，从而.

而当时，，，；

由零点存在定理知.

又当时，，所以实数的取值范围是.

要证，只需证.①

因为，是的两个实根，且，

所以，从而，所以，

令，则，，.

要证①式成立，只需证，即证，.

令，，则，所以在递增，

所以，所以.命题得证.