Question

设甲乙两地相距100海里，船从甲地匀速驶到乙地，已知某船的最大船速是36海里/时：当船速不大于每小时30海里/时，船每小时使用的燃料费用和船速成正比；当船速不小于每小时30海里/时，船每小时使用的燃料费用和船速的平方成正比；当船速为30海里/时，它每小时使用的燃料费用为300元；其余费用（不论船速为多少）都是每小时480元；

（1）试把每小时使用的燃料费用P（元）表示成船速v（海里/时）的函数；

（2）试把船从甲地行驶到乙地所需要的总费用Y表示成船速v的函数；

（3）当船速为每小时多少海里时，船从甲地到乙地所需要的总费用最少？

Answer

（1）（2）（3）当时，Y有最小值为（元）

【解析】

（1）分类讨论，当时，设，从而解得；再求当时的解析式即可；

（2）分类讨论求总费用的值，从而利用分段函数写出即可；

（3）由分段函数讨论以确定函数的单调性，从而由单调性求最小值即可.

【解析】
（1）由题意，当时，设，

由解得，；

故，

当时，设，

由解得，；

故；

（2）当时，

当时，

；

故；

（3）当时，是减函数，

当时，，

当时，

则当时，故在上是减函数；

故在上是减函数，

故当时，有最小值为（元）.