Question

已知二次函数和函数,

（1）若为偶函数,试判断的奇偶性;

（2）若方程有两个不等的实根,则

①试判断函数在区间上是否具有单调性,并说明理由;

②若方程的两实根为求使成立的的取值范围．

Answer

（1）奇函数; （2）①是单调函数，理由见解析 ②

【解析】

（1）若为偶函数,则此时满足为奇函数;

（2）①由得有不等实根,整理后得一二次方程,故可得,其为一关于的关系式,从中整理 得出对称轴的范围,知其不在区间上,故可证得函数在区间上具有单调性．

②方程为二次函数其两实根为,若成立,即在两根之间,可由根的分布的相关知识将这一关系转化为不等式,解出的范围

（1）若为偶函数,则,

即,解得：,

此时满足,

即为奇函数;

（2）①由得方程（*）有不等实根

及得即或

又的对称轴

故在上是单调函数

②是方程（*）的根,

,同理

同理

要使,

当时,即,解得

当时,即,解集为

故的取值范围