Question

已知等差数列的首项为p，公差为，对于不同的自然数，直线与轴和指数函数的图象分别交于点与（如图所示），记的坐标为，直角梯形、的面积分别为和，一般地记直角梯形的面积为.

（1）求证：数列是公比绝对值小于1的等比数列；

（2）设的公差，是否存在这样的正整数，构成以，，为边长的三角形？并请说明理由；

（3）设的公差为已知常数，是否存在这样的实数p使得（1）中无穷等比数列各项的和？并请说明理由.

Answer

（1）证明见解析（2）不存在，详见解析（3）存在，证明见解析

【解析】

（1），直角梯形的两底长度，.高为，利用梯形面积公式表示出.利用等比数列定义进行证明即可；

（2），，以，，为边长能构成一个三角形，则考查不等式解的情况作解答；

（3）利用无穷等比数列求和公式，将化简为，则，探讨p的存在性.

【解析】
（1），，

，

对于任意自然数n，，

所以数列是等比数列且公比，

因为，所以；

（2），，

对每个正整数，，

若以，，为边长能构成一个三角形，

则，即，

即有，这是不可能的.

所以对每一个正整数，以，，为边长不能构成三角形；

（3）由（1）知，，，

所以，

若，则

两边取对数，知只要取值为小于的实数，

就有.