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已知等差数列的首项为p,公差为,对于不同的自然数,直线与轴和指数函数的图象分别交...

已知等差数列的首项为p,公差为,对于不同的自然数,直线轴和指数函数的图象分别交于点(如图所示),记的坐标为,直角梯形的面积分别为,一般地记直角梯形的面积为.

1)求证:数列是公比绝对值小于1的等比数列;

2)设的公差,是否存在这样的正整数,构成以为边长的三角形?并请说明理由;

3)设的公差为已知常数,是否存在这样的实数p使得(1)中无穷等比数列各项的和?并请说明理由.

 

(1)证明见解析(2)不存在,详见解析(3)存在,证明见解析 【解析】 (1),直角梯形的两底长度,.高为,利用梯形面积公式表示出.利用等比数列定义进行证明即可; (2),,以,,为边长能构成一个三角形,则考查不等式解的情况作解答; (3)利用无穷等比数列求和公式,将化简为,则,探讨p的存在性. 【解析】 (1),, , 对于任意自然数n,, 所以数列是等比数列且公比, 因为,所以; (2),, 对每个正整数,, 若以,,为边长能构成一个三角形, 则,即, 即有,这是不可能的. 所以对每一个正整数,以,,为边长不能构成三角形; (3)由(1)知,,, 所以, 若,则 两边取对数,知只要取值为小于的实数, 就有.
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考点分析:
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已知等差数列的首项为p,公差为,对于不同的自然数,直线轴和指数函数的图象分别交于点(如图所示),记的坐标为,直角梯形的面积分别为,一般地记直角梯形的面积为.

1)求证:数列是公比绝对值小于1的等比数列;

2)设的公差,是否存在这样的正整数,构成以为边长的三角形?并请说明理由;

3)设的公差为已知常数,是否存在这样的实数p使得(1)中无穷等比数列各项的和?并请说明理由.

 

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已知二次函数.

1为偶函数,试判断的奇偶性;

2)若方程有两个不相等的实根,当时判断上的单调性;

3)当时,问是否存在x的值,使满足的任意实数a,不等式恒成立?并说明理由.

 

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已知二次函数和函数,

1)若为偶函数,试判断的奇偶性;

2)若方程有两个不等的实根,则

①试判断函数在区间上是否具有单调性,并说明理由;

②若方程的两实根为求使成立的的取值范围.

 

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设甲乙两地相距100海里,船从甲地匀速驶到乙地,已知某船的最大船速是36海里/时:当船速不大于每小时30海里/时,船每小时使用的燃料费用和船速成正比;当船速不小于每小时30海里/时,船每小时使用的燃料费用和船速的平方成正比;当船速为30海里/时,它每小时使用的燃料费用为300元;其余费用(不论船速为多少)都是每小时480元;

1)试把每小时使用的燃料费用P(元)表示成船速v(海里/时)的函数;

2)试把船从甲地行驶到乙地所需要的总费用Y表示成船速v的函数;

3)当船速为每小时多少海里时,船从甲地到乙地所需要的总费用最少?

 

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已知函数

1)求方程的解集;

2)如果的三边满足,且边所对的角为,求角的取值范围及此时函数的值域.

 

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