Question

如图，某人打算做一个正四棱锥形的金字塔模型,先用木料搭边框,再用其他材料填充,已知金字塔的每一条棱和边都相等.

(1)求证:直线AC垂直于直线SD；

(2)若搭边框共使用木料24米，则需要多少立方米的填充材料才能将整个金字塔内部填满?

Answer

（1）见解析；（2）

【解析】

（1）连结AC，BD，由正方形的性质得出AC⊥BD，由等腰三角形三线合一得出AC⊥SO故而AC⊥平面SBD，于是AC⊥SD；（2）正四棱锥的棱长为3，计算棱锥的高和底面积，代入体积公式计算四棱锥的体积．

（1）连接AC，BD交于点O，则O为线段BD中点，

∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD．

在△SBD中，∵，∴SO⊥AC，

∵，平面SBD，平面SBD，

∴AC⊥平面SBD，∵平面SBD，

∴AC⊥SD.

（2）由题意得正四棱锥边长为3米．

∴，

棱锥的高，

∴立方米，

答：需要立方米填充材料．