Question

已知函数，．

Ⅰ讨论函数的单调区间；

Ⅱ若函数在处取得极值，对，恒成立，求实数b的取值范围．

Answer

(1) 当时，的单调递减区间是，无单调递增区间；当时，的单调递减区间是，单调递增区间是 (2)

【解析】

（1）求导，解不等式，得到增区间，解不等式，得到减区间；

（2）函数f（x）在x=1处取得极值，可求得a=1，于是有f（x）≥bx﹣2⇔1+﹣≥b，构造函数g（x）=1+﹣，g（x）min即为所求的b的值

（1）在区间上， ，

当时， 恒成立， 在区间上单调递减；

当时，令得，

在区间上，，函数单调递减，

在区间上，，函数单调递增.

综上所述：当时， 的单调递减区间是，无单调递增区间；

当时，的单调递减区间是，单调递增区间是

（2）因为函数在处取得极值，

所以，解得，经检验可知满足题意

由已知，即，

即对恒成立，

令，

则，

易得在上单调递减，在上单调递增，

所以，即.