Question

已知函数的定义域为，设，.

（Ⅰ）试确定t的取值范围，使得函数在上为单调函数；

（Ⅱ）求证：；

（Ⅲ）求证：对于任意的，总存在，满足，又若方程在上有唯一解，请确定t的取值范围.

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析

【解析】

（Ⅰ）求导得，从而可得在，上递增，在上递减，从而确定的取值范围；

（Ⅱ）借助（Ⅰ）可知，在处取得极小值，求出，则在，上的最小值为，从而得证；

（Ⅲ）化简，从而将化为，令，则证明方程在上有解，并讨论解的个数；由二次函数的性质讨论即可．

（Ⅰ）因为，

令，得：或；令，得：

所以在上单调递增，在上单调递减，

要使在为单调函数，则

所以的取值范围为

（Ⅱ）证：因为在上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极小值.

又，所以在的最小值为，

从而当时，，即 .

（Ⅲ）证：因为，所以，即为

令，从而问题转化为证明方程在上有解，

并讨论解的个数，因为，

当或时，，所以在上有解，且只有一解.

②当时，且，但由于，所以在上有解，且有两解

③当时，由得：或，在上有且只有一解；

当时，由得：或，所以在上也只有一解

综上所述，对任意的，总存在，满足

当方程在上有唯一解，的取值范围为