Question

对于无穷数列，，若－…，则称是的“收缩数列”.其中，，分别表示中的最大数和最小数.已知为无穷数列，其前项和为，数列是的“收缩数列”.

（1）若，求的前项和；

（2）证明：的“收缩数列”仍是；

（3）若，求所有满足该条件的.

Answer

（1）（2）证明见解析（3）所有满足该条件的数列为

【解析】

（1）由可得为递增数列，，，从而易得；

（2）利用，

，可证是不减数列（即），而，由此可得的“收缩数列”仍是.

（3）首先，由已知，当时，；当时，，；当时，（*），这里分析与的大小关系，，均出现矛盾，，结合(*)式可得，因此猜想（），用反证法证明此结论成立，证明时假设是首次不符合的项，则，这样题设条件变为（*），仿照讨论的情况讨论，可证明．

【解析】
（1）由可得为递增数列，

所以，

故的前项和为.

（2）因为，

，

所以

所以.

又因为，所以，

所以的“收缩数列”仍是.

（3）由可得

当时，；

当时，，即，所以；

当时，，即（*），

若，则，所以由（*）可得，与矛盾；

若，则，所以由（*）可得，

所以与同号，这与矛盾；

若，则，由（*）可得.

猜想：满足的数列是：

.

经验证，左式，

右式.

下面证明其它数列都不满足（3）的题设条件.

法1：由上述时的情况可知，时，是成立的.

假设是首次不符合的项，则，

由题设条件可得（*），

若，则由（*）式化简可得与矛盾；

若，则，所以由（*）可得

所以与同号，这与矛盾；

所以，则，所以由（*）化简可得.

这与假设矛盾.

所以不存在数列不满足的符合题设条件.

法2：当时，，

所以

即

由可得

又，所以可得，

所以，

即

所以等号成立的条件是

，

所以，所有满足该条件的数列为.