Question

如图，直四棱柱ABCD–A₁B₁C₁D₁的底面是菱形，AA₁=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB₁，A₁D的中点.

（1）证明：MN∥平面C₁DE；

（2）求点C到平面C₁DE的距离．

Answer

（1）见解析；

（2）.

【解析】

（1）利用三角形中位线和可证得，证得四边形为平行四边形，进而证得，根据线面平行判定定理可证得结论；

（2）根据题意求得三棱锥的体积，再求出的面积，利用求得点C到平面的距离，得到结果.

（1）连接，

，分别为，中点 为的中位线

且

又为中点，且 且

四边形为平行四边形

，又平面，平面

平面

（2）在菱形中，为中点，所以，

根据题意有，，

因为棱柱为直棱柱，所以有平面，

所以，所以，

设点C到平面的距离为，

根据题意有，则有，

解得，

所以点C到平面的距离为.