Question

如图，长方体ABCD–A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是正方形，点E在棱AA₁上，BE⊥EC₁.

（1）证明：BE⊥平面EB₁C₁；

（2）若AE=A₁E，AB=3，求四棱锥的体积．

Answer

（1）见详解；（2）18

【解析】

（1）先由长方体得，平面，得到，再由，根据线面垂直的判定定理，即可证明结论成立；

（2）先设长方体侧棱长为，根据题中条件求出；再取中点，连结，证明平面，根据四棱锥的体积公式，即可求出结果.

（1）因为在长方体中，平面；

平面，所以，

又，，且平面，平面，

所以平面；

（2）设长方体侧棱长为，则，

由（1）可得；所以，即，

又，所以，即，解得；

取中点，连结，因为，则；

所以平面，

所以四棱锥的体积为.