Question

如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，，，，

（Ⅰ）设分别为的中点，求证：平面；

（Ⅱ）求证：平面；

（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值.

Answer

（I）见解析；（II）见解析；（III）.

【解析】

（I）连接，结合平行四边形的性质，以及三角形中位线的性质，得到，利用线面平行的判定定理证得结果；

（II）取棱的中点，连接，依题意，得，结合面面垂直的性质以及线面垂直的性质得到，利用线面垂直的判定定理证得结果；

（III）利用线面角的平面角的定义得到为直线与平面所成的角，放在直角三角形中求得结果.

（I）证明：连接，易知，，

又由，故，

又因为平面，平面，

所以平面.

（II）证明：取棱的中点，连接，依题意，得，

又因为平面平面，平面平面，

所以平面，又平面，故，

又已知，，

所以平面.

（III）【解析】
连接，由（II）中平面，

可知为直线与平面所成的角.

因为为等边三角形，且为的中点，

所以，又，

在中，，

所以，直线与平面所成角的正弦值为.