Question

在如图所示的六面体中，四边形是边长为的正方形，四边形是梯形，，平面平面，，.

（1）在图中作出平面 与平面的交线，并写出作图步骤，但不要求证明；

（2）求证：平面；

（3）求平面与平面所成角的余弦值

Answer

（1）见解析；（2）见解析；（3）

【解析】

（1）延长与相交于点，连接，根据公理和公理可知，即是所求.

（2）通过证明四边形是平行四边形，证得，由此证得平面.

（3）利用勾股定理计算出，建立空间直角坐标系，通过平面和平面的法向量，计算出二面角的余弦值.

（1）延长与相交于点，连接，则直线 就是平面与平面的交线.

（2）因为，，所以是的中位线，故，

因为，所以，且，

所以四边形是平行四边形，所以，

因为面，面，

所以平面.

（3）在平面内，过点作的平行线交于点，又，所以四边形为平行四边形，所以，，，又因为，所以，

所以为直角三角形，

且，，.

在平面内，过点作的垂线交于点，

又因为平面平面，平面平面，

所以面.

以为坐标原点，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.

则，，，，所以，，设是平面的法向量，

则，即，所以可取.

因为是平面的法向量，

所以，

所以平面与平面所成角的余弦值.