Question

已知函数，，为的导函数．

（1）若，求的值；

（2）讨论的单调性；

（3）若恰有一个零点，求的取值范围．

Answer

（1）；（2）见解析；（3）或

【解析】

（1）利用列方程，解方程求得的值.

（2）求得函数的导函数，对分成等四种情况，分类讨论的单调区间.

（3）结合（1）求得的的单调区间，判断出的单调区间，结合的取值范围、零点的存在性定理进行分类讨论，由此求得的取值范围.

（1）

由，得，得；

（2）

①当时，令，得，令，得，

所以在上单调递增，在上单调递减；

②当时，令，得，，

i）当时，，所以在上单调递增；

ii）当时，令，得或；令，得，

所以在和单调递增，在单调递减；

iii）当时，令，得或；令，得，

所以在和单调递增，在单调递减；

综上：①当时，在上单调递增；在单调递减；

②i）当时，在上单调递增；

ii）当时，在和单调递增，在单调递减；

iii）当时，在和单调递增，在单调递减；

（3）①当时，由（2）知，在单调递增，在单调递减，所以在单调递增，在单调递减，又因为，所以恰有一个零点，符合题意；

②i）当时，在单调递增，所以在单调递增，又，所以在恰有一个零点，符合题意；

ii）当时，在单调递增，在单调递减，在单调递增，

所以在单调递增，在单调递减，在单调递增，

因为 ，所以是函数的一个零点，且，

当时，取且，

则，

所以，所以在恰有一个零点，

所以在区间有两个零点，不合题意；

iii）当时，在单调递增，在单调递减，在单调递增，所以在单调递增，在单调递减，在单调递增，

又因为，所以是函数的一个零点，且，

又因为，所以，

所以在区间有两个零点，不合题意；

综上的取值范围为或.