Question

如图,在三棱锥中,底面,,.D,E分别为,的中点,过的平面与,相交于点M,N(M与P,B不重合,N与P,C不重合).

(1)求证:;

(2)求直线与平面所成角的大小;

(3)若直线与直线所成角的余弦值时,求的长.

Answer

(1)见解析(2)(3)

【解析】

(1)为的中位线,从而得到,然后根据线面平行的判定定理及性质定理即可得到,从而,即;

(2)过B作,容易说明,,三条直线互相垂直,从而以B为原点,,,所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,这样即可求得,,的坐标.从而可求出平面的一个法向量坐标,设直线与平面所成角为,根据即可求出;

(3)根据图形设,由M点在棱上,便可得到,从而表示M为,根据直线与直线所成角的余弦值,设直线与直线所成角为,从而通过即可求出,从而求出M点坐标,由两点间距离公式即可求出.

(1)证明:∵D,E分别为,的中点;

∴,平面,平面;

∴平面,平面平面;

∴;

∴;

(2)如图,在平面内作,则根据:

底面,及即知,,,两两垂直;

∴以B为坐标原点,,,所在直线为x,y,z轴建立如图所示空间直角坐标系,则:

,,,;

∴,,,;

设平面的法向量为;

则由得:

,令,得,;

∴;

设直线和平面所成角为,则:

;

又;

∴;

即直线和平面所成角为;

(3)设,M在棱上,则:,();

∴;

∴,;

∴,;

因为直线与直线所成角的余弦值;

设直线和直线所成角为;

所以;

∴;

解得,或(舍去);

∴;

∴.