Question

在平面直角坐标系中，动点到定点的距离与它到直线的距离相等．

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）设动直线与曲线相切于点，与直线相交于点．

证明：以为直径的圆恒过轴上某定点．

Answer

（1）；（2）

【解析】

试题（1）设出动点的坐标为，然后直接利用抛物线的定义求得抛物线方程；（2）设出直线的方程为：（），联立直线方程和抛物线方程化为关于的一元二次方程后由判别式等于得到与的关系，求出的坐标，求出切点坐标，再设出的坐标，然后由向量的数量积为0证得答案，并求得的坐标．

试题解析：（1）【解析】
设动点E的坐标为，

由抛物线定义知，动点E的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，

所以动点E的轨迹C的方程为．

（2）证明：由，消去得：．

因为直线l与抛物线相切，所以，即．

所以直线l的方程为．

令，得．所以Q．

设切点坐标，则，

解得：， 设，

所以当，即，所以

所以以PQ为直径的圆恒过轴上定点．