Question

已知函数是奇函数.

（1）求实数的值；

（2）判断函数在上的单调性，并给出证明；

（3）当时，函数的值域是，求实数与的值

Answer

（1）；（2）见解析；（3），.

【解析】

（1）根据奇函数的定义可知f（﹣x）+f（x）＝0，建立关于m的等式关系，解之即可；

（2）先利用函数单调性的定义研究真数的单调性，讨论a的取值，然后根据复合函数的单调性进行判定；

（3）先求函数的定义域，讨论（n，a﹣2）与定义域的关系，然后根据单调性建立等量关系，求出n和a的值．

（1）∵函数（a＞0，a≠1）是奇函数．

∴f（﹣x）+f（x）＝0解得m＝﹣1．

（2）由（1）及题设知：，

设，

∴当x1＞x2＞1时，

∴t1＜t2．

当a＞1时，logat1＜logat2，即f（x1）＜f（x2）．

∴当a＞1时，f（x）在（1，+∞）上是减函数．

同理当0＜a＜1时，f（x）在（1，+∞）上是增函数．

（3）由题设知：函数f（x）的定义域为（1，+∞）∪（﹣∞，﹣1），

∴①当n＜a﹣2≤﹣1时，有0＜a＜1．由（1）及（2）题设知：f（x）在为增函数，由其值域为（1，+∞）知（无解）；

②当1≤n＜a﹣2时，有a＞3．由（1）及（2）题设知：f（x）在（n，a﹣2）为减函数，由其值域为（1，+∞）知

得，n＝1．