Question

已知二次函数的图象的顶点坐标为,且过坐标原点O,数列的前n项和为,点()在二次函数的图象上.

(1)求数列的表达式;

(2)设(),数列的前n项和为,若对恒成立,求实数m的取值范围;

(3)在数列中是否存在这样的一些项,,,,…,…(),这些项能够依次构成以为首项,q(,)为公比的等比数列?若存在,写出关于k的表达式;若不存在,说明理由.

Answer

(1) () (2)见解析 (3) 存在,,().

【解析】

(1)先求出,通过讨论n的范围,从而得到数列的通项公式;

(2)通过讨论n的奇偶性,从而求出的表达式,问题转化为使(n为正偶数)恒成立即可;

(3)通过讨论公比的奇偶性,从而得到答案.

(1)由题意得,

∴(),

当时,,

当时,适合上式,

∴数列的通项公式是:();

(2)∵,(),

∴

,

由(1)得:数列是以1为首项,公差为的等差数列,

①当,时,

,

,

②当,时,

,

∴,要使对恒成立,

只要使(n为正偶数)恒成立,

即使对n为正偶数恒成立.

∴;

(3)由知,数列中每一项都不可能是偶数,

①如存在以为首项,公比q为2或4的数列,,此时中每一项除第一项外都是偶数,

故不存在以为首项,公比为偶数的数列;

②时,显然不存在这样的数列,

时,若存在以为首项,公比为3的数列,,则,

,,,

∴存在满足条件的数列,且,().