Question

（1）已知，求证：.

（2）已知，求证：在定义域内是单调递减函数；

（3）在（2）的条件下，求集合的子集个数.

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）4个

【解析】

（1）使用分析法证明；
（2）设，利用（1）的结论和对数函数的性质化简判断其符号，得出结论；
（3）由（2）的结论及列出不等式组，解出即可得出中元素的个数．

（1）证明：，
欲证：，
只需证：，
即证：，
只需证：，
显然成立，
∴；
（2）【解析】
的定义域为，
设，

则

，
∵，
，
，
，
∴在定义域上是减函数；
（3）【解析】
由（2）知是定义在上的减函数，且，
，
，
，
，
或，
∴集合有两个元素，
∴集合有4个子集．