Question

设等差数列的前项和为，在同一个坐标系中，及的部分图象如图所示，则（    ）．

A.当时，取得最大值 B.当时，取得最大值

C.当时，取得最小值 D.当时，取得最小值

Answer

A

【解析】

试题首先分析图象中三个点各自的含义，若横坐标为的点表示，那么的情况分为两种：（1），在这种情况下，根据图象可知，必然小于，但我们可以根据图象发现，，，等差数列为单调递减的，说明数列从第一项至第七项应该都是大于的，那么前7项和，与图象给出的信息矛盾，故不成立；（2），在这种情况下，根据图象可以推理出前7项和，但是，，说明数列单调递增，且从第一项至第八项均小于，那么前7项和必然大于，又产生矛盾．说明横坐标为处的点表示的是数列的前8项和，此时需要分析横坐标为处的两个点各自的含义，若，则，说明数列单调递减，那么可知数列在第一项至第8项均为正数，那么，与图象信息矛盾，故，，，可以解得，可知等差数列公差为，接下来可以有两种基本思路去处理.

方法一：直接求解数列通项，根据公差，解得，那么可以解得前项和的表达式为，可知其对称轴，距它最近的整数为，故其在时取最大值，故选A.

方法二：从前项和的最值性质可以看出，数列本身正负发生改变的地方是产生最值的地方，根据分析可知，，那么，，可见，数列从第一项至第四项均是正数，此时前项和越加越大，最大值在第四项取到，故选A.