Question

已知函数，，其中，设．

（1）如果为奇函数，求实数、满足的条件；

（2）在（1）的条件下，若函数在区间上为增函数，求的取值范围；

（3）若对任意的恒有成立．证明：当时，成立．

Answer

（1），；（2）；（3）见解析

【解析】

(1)根据函数为奇函数，利用奇函数对应的表达式，得到关于的关系式，分析等式恒成立的条件即可得到满足的条件；

(2)利用函数单调性的定义，求解出关于的不等式，即可求解出的取值范围；

(3)由得到间的不等关系，再根据作差法以及不等式的性质证明在时成立.

（1），设的定义域为，

∵为奇函数，∴对于任意，成立．

即：化简得：，

因对于任意都成立，

∴，

即，.

（2）由（1）知，，

∵在上为增函数，

∴任取时，恒成立．

即任取时，成立，

也就是成立．

∴，即的取值范围是．

（3）因为任意的恒有成立，

所以对任意的，，

即恒成立．

所以判别式，

从而，∴，且，

因此且．

故当时，有．

即当时，成立．