Question

定义：对于数列，如果存在常数，使对任意正整数，总有成立，那么我们称数列为“﹣摆动数列”．

（1）设，，，判断数列、是否为“﹣摆动数列”，并说明理由；

（2）已知“﹣摆动数列”满足：，．求常数的值；

（3）设，，且数列的前项和为．求证：数列是“﹣摆动数列”，并求出常数的取值范围．

Answer

（1）数列不是“﹣摆动数列”，数列是“﹣摆动数列”，理由见解析；（2）；（3）证明见解析，的取值范围是

【解析】

(1)根据定义分析是否存在满足条件，由此判断、是否为“摆动数列”；

(2)根据定义分析奇数、偶数项的情况，再根据递推关系构造不等式，从而可求解出的取值范围；

(3)先分析存在值满足“摆动数列”，然后即可分奇偶项讨论的取值范围.

（1）假设数列是“﹣摆动数列”，

即存在常数，总有对任意成立，

不妨取时则，取时则，显然常数不存在，

∴数列不是“﹣摆动数列”；

由，于是对任意成立，其中．

∴数列是“﹣摆动数列”．

（2）由数列为“﹣摆动数列”，，

即存在常数，使对任意正整数，总有成立；

即有成立．

则，

∴．

同理．

∴，解得即．

同理，解得；即．

综上．

（3）证明：由，

显然存在，使对任意正整数，总有成立，

∴数列是“﹣摆动数列”；

当为奇数时递减，∴，只要即可，

当为偶数时递增，，只要即可，

综上，的取值范围是．