Question

已知函数

（1）证明：有唯一的零点；

（2）当时，函数有零点，记的最大值为，证明：

Answer

（1）证明见解析（2）证明见解析

【解析】

（1）用导数证明函数在上单调，再说明有零点，则是唯一零点；

（2）有解转化为，即为的最大值．求出，由（1）知有唯一零点，且，这样就有.

接着证明，一方面，

另一方面，欲证，利用，，变形为，由导数求的最大值即可．

证明：（1）由题意得，易知单调递减，

且，，所以在上单调递减，

，所以在上有唯一的零点.

（2），，

由（1）可知在上有唯一的零点.

且在上单调递增，在上单调递减，

.

下证，

一方面，

另一方面，欲证，又，

所以只需要证明，

记，，由前面可知在上单调递减，

所以，证毕.