Question

四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，侧面PAD⊥底面ABCD，∠BCD＝60°，，E是BC中点，点Q在侧棱PC上．

（Ⅰ）求证：AD⊥PB；

（Ⅱ）若Q是PC中点，求二面角E﹣DQ﹣C的余弦值；

（Ⅲ）是否存在Q，使PA∥平面DEQ？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

Answer

（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ） （Ⅲ）存在，

【解析】

（Ⅰ）取中点，连接，，．推导出．，．从而平面．由此能证明．

（Ⅱ）以为坐标原点，建立空间直角坐标系利用向量法能求出二面角的余弦值．

（Ⅲ）设，，推导出，利用向量法能求出当时，平面．

证明：（Ⅰ）取中点，连接，，．

因为，所以．

因为菱形中，，所以．

所以．

因为，且平面，平面，

所以平面．

因为平面

所以．

【解析】
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，，

因为侧面底面，且平面底面，面

所以底面．

以为坐标原点，如图建立空间直角坐标系．

则，

因为为中点，所以．

所以，，

设平面的法向量为．

即

所以平面的法向量为．

因为，

设平面的法向量为，

则，即．

令，则，即．

所以．

由图可知，二面角为锐角，所以余弦值为．

（Ⅲ）设

由（Ⅱ）可知．

设，则，

又因为，

所以，即．

所以在平面中，，

所以平面的法向量为，

又因为平面，所以，

即，解得．

所以当时，平面．