Question

    设a为实数，函数f(x)＝x²＋|x－a|＋1，x∈R.

(1)讨论f(x)的奇偶性；

(2)求f(x)的最小值．

Answer

（1）当时，偶函数，当时，为非奇非偶函数；（2）.

【解析】

试题（1）对于函数 f（x）=x2+|x﹣a|+1，分当a=0时、和当a≠0时两种情况，分别讨论f（x）的奇偶性；

（2）当x≤a时，f（x）=x2﹣x+a+1=（x﹣）2+a+，分a＞时和a≤时两种情况，分别求得函数f（x）的最小值．②当x＞a 时，f（x）=x2+x﹣a+1=（x+）2﹣a+，分a＞﹣时和当a≤﹣时两种情况，分别求得函数f（x）的最小值．

【解析】
（1）对于函数 f（x）=x2+|x﹣a|+1，

当a=0时，f（x）=x2+|x|+1为偶函数，

当a≠0时，f（x）=x2+|x|+1为非奇非偶函数．

（2）①当x≤a时，f（x）=x2﹣x+a+1=（x﹣）2+a+，

若a＞时，函数f（x）的最小值为f（）=a+；

若a≤时，函数f（x）的最小值为f（a）=a2+1．

②当x＞a 时，f（x）=x2+x﹣a+1=（x+）2﹣a+，

若a＞﹣时，函数f（x）的最小值为f（a）=a2+1；

若a≤﹣时，函数f（x）的最小值为f（﹣）=﹣a+．