Question

已知是定义在上的奇函数,且,若a,,时,有成立．

(1)判断在上的单调性,并用定义证明；

(2)解不等式：；

(3)若对所有的,以及所有的恒成立,求实数的取值范围．

Answer

（1）在上单调递增，证明见解析（2）或或

【解析】

(1)利用函数单调性的定义,结合函数奇偶性和条件进行证明即可

(2)利用函数奇偶性和单调性的性质进行转化求解

(3)结合不等式恒成立,利用参数分离法进行求解即可

【解析】
(1)任取,且,

则,为奇函数,

,

由已知得,,

,即,

在上单调递增．

(2),在上单调递增,

在上,．

问题转化为,

即,对恒成立．

下面来求的取值范围．

设．

①若,则,对恒成立．

②若,则为a的一次函数,若,对恒成立,必须,且,

或．

的取值范围是或或．