Question

已知函数f（x）=x|x-a|+bx（a，b∈R）．

（Ⅰ）当b=-1时，函数f（x）恰有两个不同的零点，求实数a的值；

（Ⅱ）当b=1时，

①若对于任意x∈[1，3]，恒有f（x）≤2x²，求a的取值范围；

②若a≥2，求函数f（x）在区间[0，2]上的最大值g（a）．

Answer

（Ⅰ） =±1;（Ⅱ）①;②g（）=．

【解析】

（Ⅰ）求得b=-1时，f（x）的解析式，由f（x）=0，解方程即可得到所求a的值；

（Ⅱ）当b=1时，f（x）=x|x-a|+x， ①由题意可得|x-a|+1≤2x，即|x-a|≤2x-1，即有1-2x≤x-a≤2x-1，即1-x≤-a≤3x-1，由x的范围，结合恒成立思想可得a的范围； ②求得f（x）的分段函数形式，讨论2≤a＜3时，f（x）的单调性和最值，即可得到所求最大值．

（Ⅰ）当b=-1时，f（x）=x|x-a|-x=x（|x-a|-1），

由f（x）=0，解得x=0或|x-a|=1，

由|x-a|=1，解得x=a+1或x=a-1．

由f（x）恰有两个不同的零点且a+1≠a-1，

可得a+1=0或a-1=0，得a=±1；

（Ⅱ）当b=1时，f（x）=x|x-a|+x，

①对于任意x∈[1，3]，恒有f（x）≤2x2，

即|x-a|+1≤2x，即|x-a|≤2x-1，

即有1-2x≤x-a≤2x-1，即1-x≤-a≤3x-1，

x∈[1，3]时，1-x∈[-2，0]，3x-1∈[2，8]，

可得0≤-a≤2,；

②f（x）==．

当2≤a＜3时，＜＜2≤a，

这时y=f（x）在[0，]上单调递增，在[，2]上单调递减，

此时g（a）=f（）=；

当a≥3时，≥2，y=f（x）在[0，2]上单调递增，

此时g（a）=f（2）=2a-2．

综上所述，g（a）=．