Question

设直线系（），则下列命题中是真命题的个数是（　　）

①存在一个圆与所有直线相交；

②存在一个圆与所有直线不相交；

③存在一个圆与所有直线相切；

④中所有直线均经过一个定点；

⑤不存在定点不在中的任一条直线上；

⑥对于任意整数，存在正边形，其所有边均在中的直线上；

⑦中的直线所能围成的正三角形面积都相等．

A.3 B.4 C.5 D.6

Answer

B

【解析】

根据已知可知，直线系都为以为圆心，以1为半径的圆的切线，即可根据相关知识，逐个判断各命题的真假．

根据直线系（）得到，

所有直线都为圆心为，半径为1的圆的切线．

对于①，可取圆心为，半径为2的圆，该圆与所有直线相交，所以①正确；

对于②，可取圆心为，半径为的圆，该圆与所有直线不相交，所以②正确；

对于③，可取圆心为，半径为1的圆，该圆与所有直线相切，所以③正确；

对于④，所有的直线与一个圆相切，没有过定点，所以④错误；

对于⑤，存在不在中的任一条直线上，所以⑤错误；

对于⑥，可取圆的外接正三角形，其所有边均在中的直线上，所以⑥正确；

对于⑦，可以在圆的三等分点做圆的三条切线，把其中一条切线平移到过另外两个点中点时，也为正三角形，但是它与圆的外接正三角形的面积不相等，所以⑦错误；

故①②③⑥正确，④⑤⑦错，所以真命题的个数为4个．

故选：B．