Question

设是各项均为非零实数的数列的前n项和，给出如下两个命题上：命题p：是等差数列；命题q：等式对任意恒成立，其中k，b是常数.

（1）若p是q的充分条件，求k，b的值；

（2）对于（1）中的k与b，问p是否为q的必要条件，请说明理由；

（3）若p为真命题，对于给定的正整数n和正数M，数列满足条件，试求 的最大值.

Answer

（1），,（2）必要条件,理由见解析，（3）

【解析】

（1）当是等差数列时，利用裂项求和的方法求得等式左边表达式的和，化简得对于恒成立，由此求得.

（2）当时，等式为.利用退作差法，证得数列为等差数列，由此证得是的必要条件.

（3）利用三角换元的方法，将表示三角函数的形式，结合柯西不等式和不等式的性质，求得的最大值.

（1）设的公差为d，则原等式可化为

，

所以，

即对于恒成立，

所以，.

（2）当，时，假设p是q的必要条件，即

“若①对于任意的恒成立，则为等差数列”.

当时，显然成立.

当时，若②，

由①﹣②得，，

即③.

当时，，即、、成等差数列，

当时，④，

即.所以为等差数列，即p是q的必要条件.

（3）由，可设，所以.

设的公差为d，则，

所以，

所以，

，

所以的最大值为.