Question

如图，为方便市民游览市民中心附近的“网红桥”，现准备在河岸一侧建造一个观景台，已知射线，为两边夹角为的公路（长度均超过千米），在两条公路，上分别设立游客上下点，，从观景台到，建造两条观光线路，，测得千米，千米．

（1）求线段的长度；

（2）若，求两条观光线路与之和的最大值．

Answer

（1）3；（2）6.

【解析】

（1），．用余弦定理，即可求出；

（2）设，，用正弦定理求出，，展开，结合辅助角公式可化为，由的取值范围，即可求解.

（1）在中，由余弦定理得，

，

所以线段的长度为3千米．

（2）设，因为，所以，

在中，由正弦定理得，

．

所以，，

因此

，

因为，所以．

所以当，即时，取到最大值6．

答：两条观光线路距离之和的最大值为6千米．