Question

已知圆,直线

（1）求证：直线过定点；

（2）求直线被圆所截得的弦长最短时的值；

（3）已知点，在直线MC上（C为圆心），存在定点N（异于点M），满足：对于圆C上任一点P，都有为一常数，试求所有满足条件的点N的坐标及该常数．

Answer

（1）直线过定点（2）.

（3）在直线上存在定点，使得为常数.

【解析】

（Ⅰ）利用直线系方程的特征，直接求解直线l过定点A的坐标．

（Ⅱ）当AC⊥l时，所截得弦长最短，由题知，r=2，求出AC的斜率，利用点到直线的距离，转化求解即可．

（Ⅲ）由题知，直线MC的方程为，假设存在定点N满足题意，

则设P（x，y），，得 ，且，求出λ，然后求解比值．

（Ⅰ）依题意得，

令且，得

直线过定点

（Ⅱ）当时，所截得弦长最短，由题知，

，得， 由得

（Ⅲ）法一：由题知，直线的方程为，假设存在定点满足题意，

则设， ，得 ，且

整理得，

上式对任意恒成立， 且

解得 ,说以（舍去，与重合），

综上可知，在直线上存在定点，使得为常数