Question

已知，是实常数．

（1）当时，判断函数的奇偶性，并给出证明；

（2）若是奇函数，不等式有解，求的取值范围．

Answer

（1）为非奇非偶函数，证明见解析；（2）．

【解析】

（1）当时，，计算不相等，也不互为相反数，可得出结论；

（2）由奇函数的定义，求出的值，证明在上单调递减，有解，化为有解，求出的值域，即可求解.

（1）为非奇非偶函数．

当时，，， ，

因为，所以不是偶函数；

又因为，所以不是奇函数，

即为非奇非偶函数．

（2）因为是奇函数，所以恒成立，

即对恒成立，

化简整理得，即．

下用定义法研究的单调性；

设任意，且

，，

所以函数在上单调递减，

因为有解，且函数为奇函数，

所以有解，

又因为函数在上单调递减，所以

有解，

，的值域为，

所以，即．