Question

已知函数是定义域为R的奇函数.

（1）求t的值，并写出的解析式；

（2）判断在R上的单调性，并用定义证明；

（3）若函数在上的最小值为，求k的值.

Answer

（1）或，；（2）R上单调递增，证明见解析；（3）

【解析】

（1）是定义域为R的奇函数，利用奇函数的必要条件，求出的值，进而求出，验证是否为奇函数；

（2）可判断在上为增函数，用函数的单调性定义加以证明，取两个不等的自变量，对应函数值做差，因式分解，判断函数值差的符号，即可证明结论；

（3）由，换元令，，由（2）得，，根据条件转化为在最小值为-2，对二次函数配方，求出对称轴，分类讨论求出最小值，即可求解

【解析】
（1）因为是定义域为R的奇函数，

所以，即，解得或，

可知，此时满足，

所以.

（2）在R上单调递增.

证明如下：设，则

.

因为，所以，

所以，可得.

因为当时，有，

所以在R单调递增.

（3）由（1）可知，

令，则，

因为是增函数，且，所以.

因为在上的最小值为，

所以在上的最小值为.

因为，

所以当时，，

解得或（舍去）；

当时，，不合题意，舍去.

综上可知，.