Question

已知函数．

（1）若函数在上的最小值为，求m的值；

（2）求函数的零点个数．

Answer

（1）；（2）零点个数为1．

【解析】

（1）讨论对称轴和区间的关系，结合单调性可得最小值，进而得到的值； （2）令，整理得．结合，只需．设，判断单调性，利用零点存在性定理可得结论．

（1）函数，则的图象的对称轴为直线，

当，即，即在上递减时，可得，即，成立；

当，即，即在上递增时，可得，即，不成立；

当，即的最小值为或时，

若，解得，此时，不成立；

若，解得，此时，成立．

综上，．

（2）令，整理得．

∵，∴．设，则有，∴，又∵的图象不间断，∴在上有零点．

任取，且．

，

∵，∴，，

∴，即，

∴在上单调递增，

∴在上有唯一的零点，

∴函数，的零点个数为1．